Jürgen Weber erhielt seine musikalische Ausbildung an den Musikhochschulen Köln bei Prof. Igor Ozim und Freiburg in der Meisterklasse von Prof. Ulrich Koch.  Meisterkurse bei Max Rostal, Bruno Giuranna, Sandor Vegh, und dem Amadeus-Quartett ergänzten seine Ausbildung.  Noch während seines Studiums wurde Weber Mitglied des Robert-Schumann-Quartetts, mit dem er eine rege Konzerttätigkeit begann. 1973 wurde dieses Ensemble mit einem Preis beim Internationalen ARD-Wettbewerb in München ausgezeichnet. 1975 wurde er als Solist in die Bundesauswahl des Deutschen Musikrats aufgenommen, wodurch er seine solistischen Engagements intensivieren konnte. ebenfalls 1975 wurde Jürgen Weber von der Hessischen Landesregierung mit ihrem Förderpreis ausgezeichnet.  1977 verpflichtete das Symphonieorchester des Bayerischen Rundfunks Weber als Solobratscher.  Er hat seit dieser Zeit mit den bedeutendsten Dirigenten der Welt, wie Raphael Kubelik, Karl Böhm, Leonard Bernstein, Zubin Metha, Riccardo Muti, Seiji Ozawa, Lorin Maazel, Simon Rattle, und Mariss Jansons, zusammengearbeitet.

Webers besondere Liebe gilt neben dem Orchester der Kammermusik, wo er in verschiedenen Ensembles, wie dem Deutschen Streichtrio, dem Concertino München, und dem Novalis-Quartett, eine internationale Konzerttätigkeit entfaltet. Eine Vielzahl von Solo-und Kammermusik-CD's dokumentieren seinen künstlerischen Rang. Auch im Bereich der zeitgenössischen Musik hat sich Weber mit zahlreichen Uraufführungen von Komponisten, wie Klaus Huber, Hans-Jürgen von Bose, Hans-Werner Henze, und Krzystof Penderecki, einen Namen gemacht. Zu seinen Kammermusikpartnern zählen so bedeutende Künstler, wie Sandor Vegh, Gerhard Oppitz, Rudolf Buchbinder, und Krystian Zimmermann.  Seit einigen Jahren ist Jürgen Weber auch verstärkt als Mitarbeiter renommierter Musikverlage, wie des Schott-und Henle-Verlags, tätig.Einen zentralen Platz  in Webers Schaffen bildet die pädagogische Arbeit. So unterrichtet er regelmässig bei Meisterkursen in Europa, Asien, und USA.  Jürgen Weber ist Professor für Viola und Kammermusik an der Hochschule für Musik und Theater in München.

Jürgen Weber spielt eine Viola von Lorenzo Storioni , Cremona, aus dem Jahr 1780.